可爱的证明，自然而然的$e$

完整论文涵盖了$e$的诸多性质，包括历史背景以及与现有教学方法的比较：中文版PDF（鸣谢中文翻译：刘芮阳， 赵奕恺， 孙玉涛，李梓凡） 和英文原版arXiv PDF。 视频讲解将很快在此发布。

本网页节选了论文中使用预备微积分语言解释$e$为何"自然"的部分， 同时直观地连接了以下两个重要性质：

• 曲线$y=e^x$在点$(x,e^x)$处的切线斜率恰好就是$e^x$。 （用微积分术语：$e^x$是其自身的导数。）
• 当$n$趋近无穷时，表达式$(1+\frac{1}{n}{)}^n$趋近于$e$。

关键概念起点

从几何的角度来看，指数函数曲线其实只有一种形状，因为所有的指数函数曲线$y=a^x$（其中底数$a$为正实数）都只是彼此在水平方向上的拉伸变换的结果。 这就正如所有的椭圆，其实也都只是彼此的拉伸变换是一样的（而且这也是因为相同的预备微积分理由）。

例如，曲线$y=8^x$沿水平方向以$6$倍比例拉伸，就得到$y=8^{x/6}=(\sqrt{2}{)}^x$。

从几何角度看，由于拉伸是一个连续过程，在这些水平方向拉伸后的指数曲线中， 恰好有一条曲线在其$y$轴截距处的切线具有特别优美且自然的斜率$1$。

我们定义$e$为对应于该曲线的唯一正实数底数。

简易$e$近似

现在我们来寻找一个指数曲线在$y$轴处切线斜率为$1$的数。 为此，我们取曲线$y=3^x$并估算需要多大的水平拉伸倍数。 首先，我们必须估算曲线$y=3^x$在其$y$轴截距$A(0,3^0)$处的切线斜率。 但如何估算呢？这需要微积分吗？不！代数就足够了！

考虑曲线上一个非常接近的点：$B(h,3^h)$，其中$h$很小但不为零。 直线$AB$的斜率为$$\frac{3^h-3^0}{h-0}$$使用$h=0.0001$来近似切线斜率：$$\frac{3^{0.0001}-1}{0.0001-0}\approx 1.09867$$因此，按$\approx 1.09867$的倍数进行水平拉伸将使切线斜率$\approx 1$。 所以$3^{x/1.09867}=(3^{1/1.09867}{)}^x$的切线斜率$\approx 1$。

因此，$3^{1/1.09867}\approx 2.71814$接近$e$。 这个结果相当不错，因为实际上$e\approx 2.718281828459045$。

各处都有美妙的切线斜率

同样的方法可以推导出曲线$y=e^x$在任意点$P(x,e^x)$处的切线斜率。 考虑曲线上一个非常接近的点：$Q(x+h,e^{x+h})$，其中$h$很小但不为零。 直线$PQ$的斜率为$$\frac{e^{x+h}-e^x}{(x+h)-x}=e^x\cdot \left(\frac{e^h-e^0}{h-0}\right).$$

括号内的表达式是通过$(0,e^0)$和$(h,e^h)$两点的直线斜率， 因此当$h$趋于零时，括号内的值变成曲线$y=e^x$在$y$轴截距处的切线斜率。 根据我们对$e$的定义，这个值奇迹般地化简为$1$。 （这正是我们构建该定义的原因。）

因此，点$P(x,e^x)$处的切线斜率就是$e^x$。

用微积分术语重新表述：$e^x$是其自身的导数。 这可能是$e$最重要的性质，因为所有源于$e$的微积分定理都可以从这个事实推导出来。

复利极限

预备微积分通常会用不同的方式定义$e$，即连续复利产生的表达式$(1+\frac{1}{n}{)}^n$的极限。 为了调和这两种方法，我们现在用视觉方法证明$(1+\frac{1}{n}{)}^n$趋近于我们所定义的同一个数。

由于${\log }_{b}x$是$b^x$对于任意底数$b$的反函数，使用我们的底数$e$得到$$\begin{array}{rl}{(1+\frac{1}{n})}^n& ={\left(e^{{\log }_e(1+\frac{1}{n})}\right)}^n\\ & =e^{n{\log }_e(1+\frac{1}{n})}\end{array}$$我们使用底数$b=e$（而不是比如说$10$），因为现在我们只需要证明指数部分当$n$增大时趋近于$1$。 该表达式可以重新整理为斜率计算！$$n{\log }_e(1+\frac{1}{n})=\frac{{\log }_e(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}$$$$=\frac{{\log }_e(1+\frac{1}{n})-{\log }_e(1)}{(1+\frac{1}{n})-(1)}$$这正是曲线$y={\log }_{e}x$上点$(1,0)$与另一个非常接近的点之间直线的斜率。 当$n$增大时，这趋近于$(1,0)$处切线的斜率。 我们只需证明该斜率为$1$（这也是一个自然的目标），就完成了证明。

为此，由于${\log }_{e}x$是$e^x$的反函数，它们的图像关于直线$y=x$对称。

以下两条直线的斜率都是$1$：

• 根据$e$的定义，通过$(0,1)$的$y=e^x$的切线；以及
• 直线$y=x$。

因此，它们平行，形成了这样美妙的反射：

因此，曲线$y={\log }_{e}x$在$(1,0)$处的切线斜率确实为$1$，证明完毕！